3 Techniken und Grundelemente der verhaltensbeschreibenden Modellierung

3.1 Beschreibungssprachen zur Umsetzung des Modellansatzes

3.1.1 Ersatzschaltungen aus diskreten elektrischen Bauelementen

Als ein Vorteil dieser Methode kann genannt werden, daß durch den vorhandenen Modell-Schaltplan eine hohe Anschaulichkeit gewährleistet ist. Der Elektroingenieur als Anwender des Modells kann in seiner vertrauten Denkweise arbeiten. Die Simulationsergebnisse sind so leichter nachzuvollziehen, zu interpretieren und auf ihre Glaubwürdigkeit zu kontrollieren. Diese Modelle besitzen auf Grund ihres Aufbaus bereits elektrische Anschlußknoten und können direkt in die zu analysierende Schaltung eingebunden werden. Eine Portabilität zwischen verschiedenen Simulatoren ist durch die Verwendung gleicher Grundelemente in einem gewissen Umfang gegeben. Netzwerksimulatoren sind typisch für PC-Anwendungen und garantieren für kommerziell erstellte Modelle einen großen Kreis potentieller Nutzer, u.a. wegen der in kleineren Entwicklungsabteilungen vorherrschenden PC-Technik. Wegen der genannten Vorteile wird auch in Simulatoren, deren Hochsprachen eine direkte mathematisch-physikalische Modellierung zuließe, auf die Modellierung mit elektrischen Ersatzschaltungen nicht verzichtet.

Das Verfahren der Modellierung der direkten Zuordnung von Eigenschaften zu einzelnen Ersatzschaltelementen bringt es mit sich, daß die meisten Eigenschaften unabhängig von einander nachgebildet und wiedergegeben werden. Dies erlaubt eine einfache, verkopplungsfrei Parametrisierung, d. h. bei der Änderung einer Eigenschaft bleiben alle anderen in der Regel erhalten. Zur Anpassung an andere Typen des gleichen Bauelementes können einzelne Parameter angepaßt werden, ohne das komplette Modell zu ändern. Außerdem ist eine Reduzierung von Modellen auf Grundeigenschaften realisierbar, ohne die Gesamtfunktion zu verlieren, indem auf die Teile des Netzwerkes verzichtet wird, welche die nicht benötigten Eigenschaften repräsentieren. Dies ist eine der Grundvoraussetzungen für eine Modellierung in Level unterschiedlicher Komplexität (Kap. 2.2.1), so daß eine Anpassung der Modellhierarchie an die konkrete Aufgabenstellung möglich ist. Ersatzschaltungen können zu Makromodellen oder subcircuits zusammengesetzt werden und sind dann in einer größeren Schaltung mit verschiedenen Parametern mehrfach einsetzbar.

Mit der Anzahl der zu berücksichtigenden Eigenschaften der Leistungshalbleiter wächst der Umfang des Modells. Jeder zusätzliche Knoten des Ersatzschaltnetzwerkes erhöht die Ordnung der vom Simulator zu lösenden Matrix der Knotenpotentiale, was sich unmittelbar auf eine Erhöhung des Simulationszeitbedarfes auswirkt. Mit dem Ziel, diese möglichst gering zu halten, ist auf eine einfache Netzstruktur mit einer niedrigen Knotenzahl zu achten. Redundanzen sind zu vermeiden und Reihen- bzw. Parallelschaltungen von gleichwirkenden Ersatzschaltelementen sind zusammenzufassen.

Bei komplexeren Systemen, die über das diskrete analoge Bauelement hinaus gehen, stößt man mit Ersatzschaltungen schnell an Grenzen einer sinnvollen Modellierung. Die höhere Funktionalität führt zu einem überproportionalen Anstieg des Modellumfang und damit auch des Simulationsaufwandes. Dann sollten andere Beschreibungsarten angewendet oder mit der elektrischen Ersatzschaltung kombiniert werden. Eine solche Vorgehensweise wird am Beispiel von Smart-Power-Elementen in Kap. 6 beschrieben.

Modelle aus Ersatzschaltungen bestehen im wesentlichen aus den in der Tabelle 3.1 aufgeführten Grundelementen mit linearen und nichtlinearen Abhängigkeiten bzw. gesteuerten oder ungesteuerten Größen. Die Ersatzschaltungen realer, passiver Bauelemente setzen sich in der Regel aus RLC-Netzwerken zusammen, aktive Bauelemente enthalten zusätzlich gesteuerte Quellen und Dioden als Sonderform eines nichtlinearen Widerstandes. Die Bezeichnungen für die Bauelemente wurden dem in dieser Arbeit bevorzugt eingesetzten Simulator Simplorer¹ entnommen. Im konkreten Fall können abweichende Bezeichnungen üblich sein.

 

Tab. 3.1 Elemente elektrischer Ersatzschaltungen

Ersatzschaltelement	Schaltsymbol	Strom-/Spannungsbeziehung
Basiselemente
R Widerstand		R = V/I
C Kapazität		C = IC/(dvC/dt)    C = Q/U
L Induktivität		L = VL/(diL/dt)
E Spannungsquelle		V = konst.          Ri = 0
I Stromquelle		I = konst.           Ri = Inf.
gesteuerte Quellen
EU spannungsgesteuerte Spannungsquelle		V2= f(V1)
EI stromgesteuerte Spannungsquelle		V2= f(I1)
II stromgesteuerte Stromquelle		I2= f(I1)
IU spannungsgesteuerte Stromquelle		I2= f(V1)
Sonderformen für Halbleitermodelle
D pn-Übergang (statisch)		I1= f(V1)

Eine große Vielfalt von elektrischen Eigenschaften können durch Kombinationen dieser Elemente nachgebildet werden. Die Zusammenschaltung der Ersatzschaltelemente mit den entstehenden Knoten und Maschen darf nur so geschehen, daß die Kirchhoffschen Gesetze erfüllt werden. So schließt der Maschensatz die Parallelschaltung zweier Spannungsquellen und der Knotenpunktsatz eine Reihenschaltung von ausschließlich Stromquellen aus. Bei Elementen mit Energiespeicher müssen die Kontinuitätsbedingungen beachtet werden. Das bedeutet, eine Reihenschaltung von Induktivität und Stromquelle und die Parallelschaltung von Kondensator und Spannungsquelle kann zu Konflikten führen.

Ein Nachteil der ursprünglichen Netzwerksimulatoren (wie Spice) ist die beschränkte Anzahl von Ersatzschaltelementen. Zur Nachbildung nichtlinearer physikalischer Sachverhalte sind umfangreiche Hilfskonstruktionen notwendig, die sich negativ auf Verständlichkeit und Simulationszeitbedarf auswirken. Deshalb bieten modernere Simulatoren wie DesignCenter¹ oder Simplorer eine Anzahl vordefinierter Modellfunktionen und Möglichkeiten zur Integration von Gleichungen oder Tabellen in die Simulationsschaltung an. Diese Zusammenhänge werden als Gleichungen in ausdrucksgesteuerten Bauelementen, als Polynome oder Wertetabellen zugeordnet und sind in der Regel von einer oder mehreren elektrische Größen des Netzwerkes abhängig. Insbesondere für gesteuerte Quellen sind unterschiedliche Formen der Übertragungsfunktion gebräuchlich. Auf die Möglichkeit der Dimensionierung eines Bauelementes über funktionale Zusammenhänge wird an einigen Literaturstellen der Begriff ‘Analog Behavioral Modeling' reduziert.

Bei der Verwendung mathematischer Ausdrücke zur Bauelementberechnung ist mit besonderer Sorgfalt zu arbeiten. Während des Itterationsvorganges des Simulators können die in den Ausdrücken verwendeten Spannungen oder Ströme die physikalisch gegebenen Grenzen überschreiten, so daß undefinierte Lösungen ermittelt werden oder der maximale Zahlenbereich überschritten wird. Dies führt zu unrealen Simulationsergebnissen bzw. zum Simulationsabbruch.

Abhilfe gegen solche Modellunzulänglichkeiten kann der Einbau kleiner vernachlässigbarer Fehler schaffen, beispielsweise um eine Division durch Null zu verhindern:

Negative Werte passiver Bauelemente und negative Wurzelausdrücke lassen sich durch Verwendung von Betragswerten vermeiden.
Vorsicht ist bei der Verwendung der tanh(x)-Funktion geboten. Diese bietet sich zwar wegen ihrer schnell gegen ± 1 konvergierenden Funktionswerte als Begrenzer bzw. "mathematischer Schalter" an. Bei der simulatorinternen Berechnung über die Exponentialfunktion

stehen unter Umständen unzulässig große Zahlenwerte x im Exponenten (hohe Strom und Spannungswerte in der Leistungselektronik) und es kommt zu einem Gleitkommafehler.

3.1.1.1 PN-Übergang als Basiselement der Leistungshalbleitermodellierung

• Diode D und r_on1

und einem konstanten Bahnwiderstand ist die am häufigsten verwendete Nachbildung der statischen Diodenkennlinie.
 

Sperrschichtkapazität C_spr

• Diffusionskapazität C_diff

• Dynamische Leitwertmodulation, r_on2 und L_Lwm

• Durchbruchspannung

• Unzulänglichkeiten

Eine weiteres Problem sind die durch mathematische Ausdrücke oder vordefinierte Modellfunktionen berechneten Bauelemente, mit denen die Portabilität der Modelle verloren geht.

3.1.1.2 Modellierung nichtelektrischer Größen über Analogiebeziehungen

Tab. 3.2 Analogiebeziehungen zwischen elektrischen und nichtelektrischen Größen

Fachgebiet	Treibende Größe	Wirkung
Elektrotechnik	Spannung V (V)	Strom I (A)
Hydraulik	Druck p (N/m2)	Volumenstrom Qv (m3/s)
Wärmelehre	Temperatur  (K)	Wärmestrom  th (J/K)
Mechanik   Translation   Rotation	Kraft F (N)  Drehmoment M (Nm)	Geschwindigkeit v (m/s)  Winkelgeschwindigkeit  w (rad/s)

Zur Nachbildung von Energiespeichern jeglicher Art sind Induktivitäten L oder Kapazitäten C heranzuziehen. Die Analogiebeziehungen von elektrischer zu mechanischer Energie kann beispielsweise wie folgt hergestellt werden:

wobei m für die Masse und J hier für das dynamische Trägheitsmoment steht.
Die gemeinsame Basis zur Lösung von Problemen unterschiedlicher physikalischer Gebiete ist das Aufstellen von Differentialgleichungsystemen. Ein Vergleich der Elemente dieser Gleichungen stellt die Verbindung zwischen den Größen her. Mit Hilfe der Analogiebeziehungen ist es dem Elektroingenieur möglich, in seiner gewohnten Umgebung zu arbeiten, und eventuell fehlende Beschreibungsmöglichkeiten im Simulator werden umgangen.

Die Ersatzschaltungen werden als Hilfsnetzwerk (Kap. 3.1.1.3) aufgebaut. Am Beispiel der besonders bei der Halbleitermodellierung häufig verwendeten Analogiebeziehungen zu thermischen Problemen soll im folgenden die Vorgehensweise bei der Umsetzung eines nichtelektrischen Problems in eine elektrische Ersatzschaltung erläutert werden.
Die thermischen Ersatzschaltungen dienen zur Berechnung der Halbleitertemperatur durch Eigenerwärmung. Ausgangspunkt ist die Überlegung, daß die mit den elektrischen Verlusten erzeugte Wärme einen Wärmestrom zur Oberfläche verursacht. Die Gleichungen des Wärmetransports und der Wärmespeicherung in festen Körpern sind mit denen des Transportes und der Speicherung von Ladungsträgern vergleichbar. Betrachtet man ein differentiales Volumenelement, ergibt sich der eintretende Wärmestrom _th1 aus dem austretenden Wärmestrom _th2 und einem Anteil aus der Änderung der gespeicherten Wärmemenge Q_th . Entsprechendes gilt auch für den elektrischen Strom.

Mit den Gleichungen für Wärmetransport:

und Wärmespeicherung:

wird Gleichung (3.14) in die Form:

überführt, aus der sich die in Abb. 3.2 dargestellte elektrische Ersatzschaltung ableiten läßt. In der Praxis werden abgeschlossene geometrische Figuren zu einem RC-Glied zusammengefaßt.
Es entsteht ein Kettenleiter aus RC-Gliedern entsprechend den am Wärmetransport beteiligten Materialien. Grenzflächen fester Körper stellen dem Wärmetransport ebenfalls einen Widerstand entgegen, diese werden als Serienwiderstände in die Kette eingefügt. Gleiches gilt für die Wärmekonvektion an der Oberfläche zum Kühlmedium. Gemeinsam mit der für die Verlustleistung stellvertretenden Stromquelle und der Umgebungstemperatur als Gegenspannungsquelle entsteht die in Abb. 3.3 dargestellte Form einer thermischen Ersatzschaltung. Der Spannungsabfall über der Verlustleistungsquelle entspricht der Sperrschichttemperatur und ist gleich der Summe der Teilspannungsabfälle über den thermischen Widerständen.

Soll nur die zeitliche Änderung der Sperrschichttemperatur als Funktion der Verlustleistung berechnet werden, ist es auch üblich, Kettenleiter aus parallelen RC-Gliedern (Abb. 3.4) zu verwenden /Türkes/ /Fasching/. Vorteil ist die leichtere Parametrisierbarkeit aus einer gegebenen transienten thermischen Impedanz Z_th . Jedes RC-Glied entspricht einer aus dieser Funktion ermittelten Zeitkonstante. Der physikalische Bezug der Ersatzschaltelemente geht dabei allerdings verloren. Eine Beeinflussung durch die äußere Temperatur ist nicht mehr möglich.

3.1.1.3 Hilfsnetzwerke

Mit den Basiselementen R, L und C sind die mathematischen Operationen

• Multiplikation  V = R   I
• Integration    V = 1/C  i dt und
• Differentiation  V = L di/dt  in einer Ersatzschaltung lösbar.

Hilfsnetzwerke sind nur als Ergänzung von Netzwerkmodellen zu verstehen oder als Notlösung für Simulatoren, in denen Ersatzschaltungen als einzige Modellierungsprache zur Verfügung stehen. Bei der Notwendigkeit umfangreicher Nebenberechnungen sollten nach Möglichkeit andere Modellierungssprachen gewählt werden.

3.1.2 Zustandsgraphen und Petri-Netze

Der Einsatz von Petri-Netzen für Verhaltensmodelle ist sowohl für digitale als auch für analoge Anwendungsgebiete denkbar. Die Erstellung eines Zustandsmodells für diskrete Leistungshalbleiter wurde in Kap. 2.3.1 ansatzweise erläutert und ist direkt mit Petri-Netzen durchführbar. Das eigentliche Einsatzgebiet ist die ereignisorientierte Modellierung von Steuerungen. Steuerungsprozesse und Überwachungsfunktionen haben unter leistungselektronischen Gesichtspunkten einen digitalen Charakter. Eine binäre Betrachtungsweise mit high oder low-Pegel bzw. mit true und false ist meist ausreichend. Signaländerungen sind ein Ereignis und führen zu Zustandsänderungen. Zwischen zwei Ereignissen befindet sich das System in einem Ruhezustand, so daß keine fortlaufenden Neuberechnungen von Strömen und Spannungen notwendig sind. Aus diesem Grund stellt eine Modellierung der Steuerung mit analogen Modellen bei der Analyse leistungselektronischer Schaltungen einen nicht notwendigen Aufwand dar. Diese Aussage ist auch auf Smart-Power-Elemente übertragbar. Eine effektive Modellierung der in diese Elemente integrierten Ansteuer- und Schutzfunktionen kann nur ereignisorientiert erfolgen. Petri-Netze bieten dafür eine geeignete Lösung (Kap. 6).

Der wesentliche Vorteil der Petri-Netze besteht in der Reduktion des an den Simulator gestellten Rechenaufwandes, auf die im aktiven Zustand gültigen Beziehungen. Je höher die Abstraktion auf die wesentlichen Eigenschaften ist, um so geringer wird der Aufwand. Auf diese Weise sind enorme Rechenzeiteinsparungen möglich. Das Zeit- und Zustandsregime von signalverarbeitenden Schaltungen kann ohne Rücksicht auf verwendete Bauelemente als Ursache-Wirkungskette in einer Zustandsfolge mit Petri-Netzen modelliert werden. Dadurch ist eine hohe Übersichtlichkeit und Nachvollziehbarkeit der Funktion dieser Schaltungsteile gewährleistet. Der Aufbau einer hierarchischen Struktur mit Netzen und Subnetzen kann problemlos erfolgen.

Die Verwendung von Petri-Netzen für Modelle diskreter Halbleiter weist den Mangel auf, daß keine elektrischen Anschlußknoten für das Modell vorhanden sind. Diese müssen erst in Kombination mit gesteuerten Quellen in einer Ersatzschaltung geschaffen werden.

Zur Erstellung eines Modells mit Petri-Netzen wird der in  Kap. 2.3.1 für Zustandsmodelle aufgestellte Handlungsablauf angewendet. Den Anfang bildet die Definition der Zustände und deren namentliche Bezeichnung. Es werden Vorgänger und Nachfolger bestimmt. Zwischen verbundenen Zuständen werden die Übergangsbedingungen als mathematisch formulierte Kriterien meist als Vergleichsoperation festgelegt. Innerhalb der Zustände werden mit Berechnungsvorschriften und Zeitoperatoren die Eigenschaften des Modell für den aktivierten Zustand festgelegt.
Für den Aufbau des Netzes stehen damit drei Grundelemente zur Verfügung:

• Zustände (Z_n)
• Ereignisse oder Übergangsbedingungen (B_n) und
• gerichtete Verbindungen .

• Ein gültiger Zustand erhält einen Marker . Er ist aktiviert. Es muß mindestens ein Zustand markiert sein. Zum Systemstart ist ein Initialzustand festzulegen (Z₁ in Abb. 3.6).
• Ein Übergang in einen neuen, nichtaktiven Zustand findet statt, wenn alle Vorgängerzustände aktiv sind und das Ereignis eingetreten, bzw. die Übergangsbedingung erfüllt ist ( B₁ ->  Z₂; Z₅).
• Ein Ereignis kann mehrere Vorgängerzustände (Z₄; Z₅ ->  B₅) und Nachfolgerzustände ( B₁ ->  Z₂; Z₅) besitzen. Mit dem Übergang werden alle Vorgängerzustände deaktiviert und alle Nachfolgerzustände aktiviert.
• Es dürfen keine Schleifen erstellt werden, in denen alle Übergangsbedingungen erfüllt sind.
• Zur Vermeidung von Konflikten bei gleichzeitigem Erfüllen von parallelen Übergangsbedingungen können Prioritäten vergeben werden.

3.1.3 Hochsprachen

Es ist eine Beschreibung von Systemblöcken jeder Größe auf Ebenen unterschiedlichster Komplexität und beliebigen Abstraktionsleveln möglich. Die Sprachen sind gleichermaßen für eine rein physikalisch funktionale Modellierung auf der Bauelementeebene wie für eine reine Beschreibung des Klemmenverhaltens ganzer Anlagen geeignet. Diese Sprachen ermöglichen gleichzeitig Verhaltensbeschreibungen von analogen, digitalen und gemischten Systemen. Das Lösen von technischen Problemen wird im analogen Bereich auf die Lösung von Differentialgleichungssystemen zurückgeführt. Damit ist keine Festlegung auf elektrische Beziehungen getroffen, so daß auf gleicher Modellierungsebene thermische, mechanische oder hydraulische Probleme bearbeitet werden, ohne das eine Umsetzung über Äquivalenzbeziehungen notwendig ist. Zur Berechnung wird verallgemeinernd zwischen Across-Größen (v) und Through-Größen (i) unterschieden. Das Verhalten eines Bauelementes wird durch Aufstellen der Beziehungen zwischen den beiden Größen beschrieben. An jeder Klemme des Bauelement ist eine der Größen als Funktion der anderen gegeben.

  abhängige Größe = f (unabhängige Größe)

Alle Gleichungen und Festlegungen zu einem Bauelement werden in einer Substruktur (Entity, Template) abgelegt.
Für die Substrukturen existieren einheitliche Festlegung für den Aufbau nach folgendem Schema:

Kopf (Name)

 Knotenbeschreibung (Name, Typ)

Parameter (Name, Typ, Defaultwert)

Beschreibung

Definition der verwendeten Variablen, Konstanten und Hilfsgrößen

Aufstellung der Knotenbeziehungen mit Gleichungen, Zustandsunterscheidungen, Nebenbedingungen

Unterscheidungen zu den Schaltungsanalyseformen (DC, AC, Trans)

Festlegungen zur Erhöhung der Konvergenzsicherheit und der physikalischen Plausibilität (Abfangen physikalisch unsinniger Ergebnisse)

• die Summe aller Through-Größen in einem Knoten ist Null,
• die Summe aller Accros-Größen einer Masche ist Null,

Mit der Definition des Stroms als elektrische Through-Größe und der Spannung als Accros-Größe werden die Gleichungen für 2-, 3- oder n-Pole der Elektrotechnik aufgestellt. Im einfachen Fall eines Widerstandes mit den Anschlüssen 1 und 2 lautet damit die aufzustellende Gleichung:

oder für eine Kapazität:

Weitere Beziehungen innerhalb einer Bauelementebeschreibung können Temperatur- oder Frequenzabhängigkeiten festlegen.
Beim Modellaufbau von Bauelementen, die über die Grundelemente R, L und C hinausgehen, wird dem Modellierer freie Wahl bei der Anwendung verschiedener Beschreibungsmöglichkeiten und Techniken gelassen. Der Aufbau der Modelle kann direkt über Gleichungen erfolgen, wenn ein eindeutiger physikalischer Zusammenhang beschreibbar ist. Zur Halbleitermodellierung müssen oft innerhalb einer Substruktur zusätzliche Knoten geschaffen werden, um beispielsweise bei Ladungsänderungen zwischen den einzelnen Regionen mehrschichtiger Halbleiter differenzieren zu können. Da sich die Gleichungen auch Bauelementen zuordnen lassen, entstehen so Ersatzschaltungen in Form von Gleichungssystemen. Wegen der besseren Anschaulichkeit und den anderen in Kap. 3.1.1 genannten Vorteilen besteht aber auch die Möglichkeit der direkten Eingabe von elektrischen Ersatzschaltung in Form von Netzlisten. Hinter den Ersatzschaltelementen stehen in den Substrukturen die entsprechenden Gleichungen.

Die Beschreibung von nichtlinearen Zusammenhängen wird einfacher, wenn diese in einzelne Abschnitte untergliedert werden, um den Gültigkeitsbereich von Gleichungen zu beschränken. Die Verwendung von Fallunterscheidungen (IF-THEN) ermöglicht eine vom Systemzustand abhängige Modellierung. Berechnungsergebnisse, die zu Konvergenzschwierigkeiten führen würden, sind durch Begrenzungen abzufangen.

Als Nachteile für den Einsatz der Modelliersprachen müssen die relativ hohen Kosten für hard- und software bei workstation basierenden Simulatoren genannt werden. Das Verständnis für den Modellinhalt geht bei umfangreichen mathematischen Konstruktionen und bei nicht hinreichend genauer Kenntnis der Modellierungssprache verloren. Die Modelle werden zum Teil zum Schutz der Urheberrechte kodiert, so daß sich der Anwender auf die Ergebnisse blind verlassen muß. Eine Austauschbarkeit der Modelle zwischen den Simulatoren ist im allgemeinen nicht gegeben.

Zur Behebung des letzten Mangels werden gegenwärtig große Anstrengungen unternommen, um eine Standardisierung einer analogen Beschreibungssprache zu erreichen. Vom IEEE Design Automation Standartization Committee wird aus diesem Grund eine Arbeitsgruppe unterstützt, die in bezug auf den Standard VHDL für digitale Simulationstools eine analoge Spracherweiterung mit dem Namen VHDL-A entwickelt.

Zusammenfassung und Wertung der Beschreibungssprachen

•  Die Beschreibungssprache ist entsprechend dem Modell-Einsatzgebiet, dem Verständnis und Umfeld der Anwender und in Abhängigkeit vom verwendeten Simulationssystem zu wählen.
• Auf Grund der beschriebenen Vor- und Nachteile sind vom gegenwärtigen Standpunkt elektrische Ersatzschaltungen als Modellierungssprache für diskrete Einzelhalbleiter zur Schaltungsanalyse in der Leistungselektronik zu bevorzugen.
• Zur Modellierung komplexerer Bauelemente oder Baugruppen (Beispiel SPE) muß auf Zustandsbeschreibungen wegen des notwendigen höheren Abstraktionsgrades zurückgegriffen werden. Es sind Schnittstellen zur elektrischen Simulationsschaltung zu schaffen.
• Eine Übertragung in eine Hochsprache der mit vorgenannten Beschreibungssprachen erstellten Modelle ist in der Regel möglich.

3.2 Klemmenverhalten nach der Mehrpoltheorie

Eine Aneinanderreihung von Vierpol-Kleinsignalparametern zu einer Großsignalbeschreibung ist nicht immer zulässig. Beispiel sind die Halbleiterkapazitäten, die mit einer Kapazitätsmessung im stromlosen Zustand ermittelt werden und im Gegensatz dazu die Ladungsverhältnisse, die sich tatsächlich bei Stromfluß ergeben.

• In der Mehrpoltheorie wird der Modellgegenstand als Black Box mit n Eingangs- und Ausgangsgrößen betrachtet und die Beziehungen zwischen diesen Größen in Form von Gleichungssätzen aufgestellt.
• Die Gleichungssätze lassen sich in elektrische Ersatzschaltungen übertragen.
• Eine physikalische Interpretation der Modellelemente ist selten möglich.
• Die Mehrpoltheorie ist als Ausgangspunkt zur statischen Modellierung von Leistungshalbleitern geeignet.

3.3 Arbeit mit Kennlinien

Zur Umsetzung der Kennlinien existieren verschiedene Lösungswege. Die Übernahme kann abschnittsweise mit Geraden, durch Approximation mit einer Gleichung oder direkt über Stützstellen erfolgen.

Eine simple aber schon etwas antiquierte Form ist die abschnittsweise Approximation von Kennlinien durch Geraden. Ein Vorteil ist die einfache Lösung durch Aufstellen von Geradengleichungen mit wenigen Parametern, ein wesentlicher Nachteil sind Konvergenzprobleme, die wegen der Unstetigkeiten an den Schnittstellen der Geraden auftreten, und der naturgemäß große Fehler. Anhand der Konstruktion eines vereinfachten Ausgangskennlinienfeldes eines Transistors sollen die verschiedenen Techniken bei der Arbeit mit Kennlinien beschrieben werden.

Die Approximation beginnt mit einer Aufteilung in Kennlinienabschnitte, die mit einem vertretbaren Fehler durch Geraden genähert werden können. Das Aufstellen der Geradengleichungen stellt kein Problem dar:

Mit den nach der Spannung:

oder dem Strom:

umgestellten Geradengleichung sind Ersatzschaltung gemäß Abb. 3.9 a) und b) aufzubauen.
Weiterhin ist zu entnehmen, daß Kennlinien parallel zur Ordinate mit einer Gleichspannungsquelle und parallel zur Abszisse mit einer Stromquelle verschoben werden können. Für eine einzelne Gerade sind beide Verfahren gleichwertig, nicht aber bei Konstruktionen aus mehreren linearen Abschnitten. Eine Kennlinienschar mit parallel zur Abszisse verschobenen Ästen erhält man demnach durch eine gesteuerte Stromquelle (Abb. 3.10). Die Steuergröße   kann nichtlinear sein.

Damit man Teile des Kennlinienfeldes ausschließen und Gültigkeitsgrenzen für Kennlinienabschnitte festgelegen kann, bedarf es eines "Schalters". Dazu wird das Bauelement einer idealen Diode eingeführt.

Für das Ausgangskennlinienfeld des Transistors müssen in Abb. 3.9 a) die Spannungen im III. und IV. Quadranten und in Abb. 3.10 die Ströme im II. und III.Quadranten für die äußeren Klemmen unwirksam gemacht werden. Die Reihenschaltung von D₁ zu V₀ verhindert negative Ströme und die Parallelschaltung von D₂ schließt die Stromquelle kurz, wenn die Bedingung V<= V₀+IR₁ erfüllt ist. Beide Kennlinienabschnitte sind miteinander zu verknüpfen. Da nur der Kennlinienteil mit dem Anstieg R₂ in Abhängigkeit von   parallel zur Abszisse zu verschieben ist, werden Stromquelle, R₂ und D₂ in Reihe zur übrigen Ersatzschaltung geschaltet. Eine Parallelschaltung beider Schaltungsteile hätte eine Anhebung der gesamten Kennlinie zur Folge. Mit der in Abb. 3.11 dargestellten Ersatzschaltung entsteht das vereinfachte Ausgangskennlinienfeld eines Transistors (siehe auch BJT in Kap 5.2). Mit verschiedenen nichtlinearen Funktionsabschnitten läßt sich die Übereinstimmung mit einem realen Bauelement weiter erhöhen.

Werden Geradennäherungen von Kennlinien benutzt, ist es vorteilhaft für den Übergangsbereich der Geraden, Gleichungen aufzustellen, die einen stetigen Übergang von einem Kennlinienabschnitt zum nächsten garantieren und damit das Konvergenzverhalten der Modelle verbessern /Leonh/. Die angewandten Techniken zur Begrenzung der Gültigkeitsbereiche und zurVerschiebung von Geradenabschnitten lassen sich sinngemäß auch auf anderen Funktionen anwenden.
Ein Verfahren zur abschnittsweisen Nachbildung von Kennlinien ist eine Approximation mit halbseitig fastlinearen Basisfunktionen. Bewährt hat sich die Funktion:

Ohne die Störung   ist die Funktion für x <= x₀ gleich Null und für x >= x₀ verläuft die Funktion nach der Geradengleichung
y = 2k(x-x₀). Die Störung  sorgt für den allmählichen Übergang zwischen den beiden Geraden (Abb. 3.12).

Die Umsetzung in elektrische Ersatzschaltungen ist durch Polynomquellen möglich. Der Wurzelausdruck wird substituiert und in einem Hilfsnetzwerk berechnet. Mit verschiedenen Werten für k, x₀ undkönnen abschnittsweise lineare Kennlinien zusammengesetzt werden, ohne daß die oben für Geradengleichungen beschriebenen Probleme mit dem Konvergenzverhalten auftreten /Voigt/.

Für das Konvergenzverhalten des Modells in einer Simulationsschaltung ist die geschlossene stetige Beschreibung mit einer Gleichung am günstigsten. Stetig differenzierbare Funktionen erhöhen die Stabilität von Iterationsverfahren für die numerische Lösung von Gleichungssystemen.

Eine Möglichkeit, die Gleichung zu ermitteln besteht darin, sie aus bekannten physikalischen Zusammenhängen herzuleiten und sie zur verhaltensbeschreibenden Modellierung aufzuarbeiten. Zur Überführung in Ersatzschaltungen müssen die Gleichungen in elektrisch interpretierbare Glieder (Ströme, Spannungen, Widerstände...) zerlegt werden. Eine Berechnung von Zwischenergebnissen kann in Hilfsnetzwerken erfolgen. Ein Problem stellen fehlende Halbleiterparameter dar, Abhilfe können da semiempirische Lösungen schaffen. Dieser Schnittpunkt zur halbleiterphysikalischen Modellierung liefert sehr oft gute Ergebnisse.

Eine andere Möglichkeit ist es, Datensätze der Kennlinie mit einem Funktions-Fit zu approximieren. Kommerzielle mathematische Softwarepakete besitzen im allgemeinen die Fähigkeit, eingegebene Wertepaare mit einem Fit durch eine Gleichung zu nähern. Sie verbinden meist die Approximation mit einer Minimierung der Abweichung nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate F:

wobei X der Datenpunkt und x Wert der approximierten Funktion an der Stelle n ist.
Die häufigste Form der Kurvenapproximation sind Polynomreihen. Mit steigenden Potenzen kann der Fehler zwischen vorgegebenen Grenzen beliebig verringert werden. Eine bessere Übereinstimmung wird erreicht, wenn die Glieder der Reihe eine mathematische Form besitzen (exp, trigonometrische Funktionen), die dem tatsächlichen funktionalen Zusammenhang sehr nahe kommt /Wolfram/. In allen Fällen sind die Gültigkeitsgrenzen anzugeben, da außerhalb dieser Grenzen der Fehler schnell zunimmt. Insbesondere Polynome höherer Ordnung beginnen stark zu oszillieren. Dieser Nachteil der höhergradigen Polynome gewinnt an Bedeutung, wenn man beachtet, daß der Simulator bei seiner iterativen Lösungsfindung auch außerhalb dieser Grenzen arbeiten kann.
Mit einem sehr geringen Bearbeitungsaufwand kommt man aus, wenn der Simulator die Möglichkeit bietet, Kennlinien direkt als Wertepaare in Tabellenform zu verarbeiten. Die Wertepaare lassen sich aus Diagrammen eines Datenblattes auslesen oder entsprechen den Meßpunkten einer gemessenen Kennlinie. Dem Bauelement werden die Stützstellen in der Form y = f(x) zugeordnet. Die Anwendung der Wertepaare ist nicht nur auf Strom-Spannungs-Kennlinien (z.B. für einen pn-Übergang) beschränkt. Auf diese Art kann jede beliebige monoton wachsende Funktion einem Bauelement zugeordnet werden, unter Umständen auch indirekt mit gesteuerten Quellen.

Bei den meßtechnisch gewonnenen Punkten ist eine graphische Darstellung vor der Modellierung angebracht. Ein monotoner Kurvenverlauf ist sicherzustellen, eventuelle Ausreißer sind zu eliminieren. Die Verwendung einer Glättungsfunktion kann zu Verschiebungen führen, bei wenigen Meßpunkten ist deshalb eine Korrektur per Hand vorzuziehen. Um Änderungen im Monotonieverhalten bei exponentiellen Kurvenverläufen aufzudecken, ist eine logarithmische Darstellung hilfreich. Mit höher werdender Anzahl von Wertepaaren läßt sich der Fehler, der durch die Interpolation zwischen den Punkten entsteht, vermindern.

Besonders stark gekrümmte Kurvenabschnitte sind mit einer hohen Anzahl von Stützstellen zu versehen, da dort die größten Abweichungen entstehen und starke Unstetigkeiten zwischen den interpolierten Abschnitten auftreten (Abb. 3.13).

Anhand der Diodenkennlinie soll noch ein praktisches Beispiel für die Brauchbarkeit der einzelnen Lösungen gegeben werden. Die erste grobe Näherung der Diodenkennlinie ist mit 2 Ersatzgeraden möglich, deren Schnittpunkt die Schleusenspannung V_F0 ist:

Mit r_off  ->  , r_on ->  0 und V_F0 = 0 ergibt sich mit den Geraden ein ideales Diodenverhalten. Die Unstetigkeiten dieser Kennlinie können zu Schwierigkeiten bei der Netzwerkberechnung führen.

Eine Form der geschlossenen Beschreibung mit einer stetigen Gleichung ist die Exponentialfunktion nach Gleichung (3.3) In der Strom-Spannungs-Kennlinie des pn-Übergangs dominiert bei kleineren Strömen die exponentielle Spannungsabhängigkeit des Diffusionstroms, für größere Ströme tritt eine Linearisierung durch den Bahnwiderstand auf. Dieser wird durch Reihenschaltung eines Widerstandes in einer Ersatzschaltung berücksichtigt. In der Leistungselektronik verursachen sehr hohe Ströme durch die Hochinjektion von Minoritätsträgern eine Anhebung der Majoritäten, so daß die Leitfähigkeit der Bahngebiete angehoben wird. Daraus ergibt sich eine quadratischen Abhängigkeit, die mit einer Parabelfunktion zu modellieren ist:

Mit beiden Gleichungen ist nur in Teilbereichen die reale Funktion nachzubilden. In Abhängigkeit vom Arbeitspunkt ergeben sich unterschiedlich große Abweichungen (Abb. 3.14).

Besonders günstig dagegen, auch in Bezug auf die Übernahme von Datenblattwerten, ist die direkte Zuordnung der Kennlinie über Wertepaare I=f (V). In Folge der hohen Ströme (Hochinjektion von Minoritätsträgern) und den unterschiedlichen Schichtfolgen einschließlich niedrigdotierter Bahngebiete besitzen auch andere leistungselektronische Bauelemente Kennlinien, die sich aus Teilen der vorangegangen Funktionen zusammensetzen und sich nicht geschlossen mit einer der Gleichungen (3.3) oder (3.33) realisieren lassen. Mit der Vorgabe eines Gleichungstyps oder von Geradenabschnitten wird die Lösungsvielfalt eingeschränkt und es treten zwangsweise größere Abweichungen auf. Dagegen können mit Wertepaaren beschriebene Kennlinien jede beliebige Funktion im Lösungsfeld beschreiben. Mit keiner analytischen Funktion kann über den gesamten Kennlinienverlauf eine ähnlich hohe Übereinstimmung erzielt werden. In einer solchen Zahlenfolge sind alle statischen Spannungsabfälle der Sperrschicht und der Bahngebiete vereinigt.

• Die Verwendung von gemessenen oder Datenblattkennlinien ist Merkmal und Vorteil der verhaltensbeschreibenden Modellierung.
• Mit Hilfe von idealisierten Diodenmodellen werden Kennlinienabschnitte begrenzt. Durch Strom oder Spannungsquellen werden Verschiebungen hervorgerufen.
• Besonders günstig hinsichtlich der Nachbildung nichtlinearer Zusammenhänge, des Modellierungsaufwandes und der Parameterbestimmung ist die Kennlinienübergabe mit Wertepaaren.

¹ Simplorer ist ein eingetragenes Warenzeichen der Simec GmbH & Co KG /Simplor/
²  DesignCenter ist ein eingetragenes Warenzeichen der MicroSim Corp. und ist eine Weiterentwicklung des Simulators PSpice /DesignC/
³ MAST ist ein eingetragenes Warenzeichen der Analogy Corp. und Modellierungsprache für den Simulator SABER /SABER/
⁴ HDL-A ist ein eingetragenes Warenzeichen der ANACAD Electrical Engineering Software Inc. und Modellierungsprache für den Simulator ELDO
 

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Inhaltsverzeichnis
3.4 Parametergewinnung durch Messung
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